目录
1. 分布函数的直观引入1.1 从一个例子出发
1.2 累积分布与分布函数2. 分布函数的定义2.1 数学定义2.2 分布函数的图像
3. 分布函数的性质4. 离散型与连续型分布函数4.1 离散型分布函数4.2 连续型分布函数
5. 应用与计算5.1 由分布函数计算概率5.2 分布函数求导
6. 总结与展望
分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率论与数理统计中的核心概念，它用一个函数全面描述了随机变量取值的概率分布情况。在本文中，我们将从直观感受开始，逐步引入分布函数的定义、性质以及离散型和连续型分布函数的区别，并结合实例加深理解。
1. 分布函数的直观引入
1.1 从一个例子出发
假设你正在研究学生的考试成绩分布，绘制了成绩的频率直方图。通过直方图，你可以看到分数落在不同区间的频率，但如果你想知道“分数不超过某个值的学生比例”，该如何计算？
答案是：累积频率。
1.2 累积分布与分布函数
累积频率是一种描述“至多取某值”的概率的方法。将这种累积概率用数学函数表示，就得到了分布函数。
例如，当分数范围为0到100时，假设分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)表示分数小于等于
x
x
x的概率，则：
F
(
60
)
F(60)
F(60)表示分数小于等于60的学生比例。
F
(
100
)
=
1
F(100) = 1
F(100)=1，表示所有学生都拿到了不超过100的分数。
2. 分布函数的定义
2.1 数学定义
对于一个随机变量
X
X
X，分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)定义为：
F
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
F(x) = P(X \leq x)
F(x)=P(X≤x)
即
F
(
x
)
F(x)
F(x)是
X
X
X取值“小于等于
x
x
x”的概率。它反映了随机变量取值的累计概率分布。
2.2 分布函数的图像
通过绘制
F
(
x
)
F(x)
F(x)的图像，可以更直观地观察其增长趋势。通常，
F
(
x
)
F(x)
F(x)表现为递增的曲线或阶梯状函数，具体形态取决于随机变量的类型。
3. 分布函数的性质
分布函数具有以下重要性质：
单调非减性：
对任意
x
1
≤
x
2
x_1 \leq x_2
x1≤x2，有
F
(
x
1
)
≤
F
(
x
2
)
F(x_1) \leq F(x_2)
F(x1)≤F(x2)。这是因为概率不会减少。
界限：
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
=
1
\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1
x→−∞limF(x)=0,x→+∞limF(x)=1
表示
X
X
X的取值范围包含所有可能性。
右连续性：
分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)在每个
x
x
x处都是右连续的，即：
lim
x
→
x
0
+
F
(
x
)
=
F
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)
x→x0+limF(x)=F(x0) 连续性随机变量同时还是左连续的
4. 离散型与连续型分布函数
4.1 离散型分布函数
离散型随机变量的分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)通过求和表示：
F
(
x
)
=
∑
x
i
≤
x
P
(
X
=
x
i
)
F(x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i)
F(x)=xi≤x∑P(X=xi)
特点：阶梯状函数，每个阶跃对应某个具体值的概率。
案例：掷一颗骰子，随机变量
X
X
X表示骰子点数。分布函数为：
F
(
1
)
=
P
(
X
≤
1
)
=
1
/
6
F(1) = P(X \leq 1) = 1/6
F(1)=P(X≤1)=1/6
F
(
2
)
=
P
(
X
≤
2
)
=
2
/
6
F(2) = P(X \leq 2) = 2/6
F(2)=P(X≤2)=2/6
以此类推，分布函数的图像是逐步递增的阶梯状。
4.2 连续型分布函数
连续型随机变量的分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)通过积分表示：
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt
F(x)=∫−∞xf(t)dt
其中
f
(
x
)
f(x)
f(x)是概率密度函数（PDF）。
特点：平滑曲线，分布函数是概率密度函数的积分。
案例：均匀分布在
[
0
,
1
]
[0, 1]
[0,1]上的随机变量，其概率密度函数为
f
(
x
)
=
1
f(x) = 1
f(x)=1（
x
∈
[
0
,
1
]
x \in [0, 1]
x∈[0,1]）。分布函数为：
F
(
x
)
=
{
0
,
x
<
0
x
,
0
≤
x
≤
1
1
,
x
>
1
F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}
F(x)=⎩
⎨
⎧0,x,1,x<00≤x≤1x>1
5. 应用与计算
5.1 由分布函数计算概率
通过分布函数可以直接计算随机变量的区间概率：
P
(
a
≤
X
≤
b
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)
P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)
例题：已知
F
(
x
)
F(x)
F(x)为标准正态分布的分布函数，求
P
(
−
1
≤
X
≤
1
)
P(-1 \leq X \leq 1)
P(−1≤X≤1)：
P
(
−
1
≤
X
≤
1
)
=
F
(
1
)
−
F
(
−
1
)
P(-1 \leq X \leq 1) = F(1) - F(-1)
P(−1≤X≤1)=F(1)−F(−1)
5.2 分布函数求导
对于连续型随机变量，分布函数的导数就是概率密度函数：
f
(
x
)
=
d
d
x
F
(
x
)
f(x) = \frac{d}{dx}F(x)
f(x)=dxdF(x)
例题：已知
F
(
x
)
=
x
2
F(x) = x^2
F(x)=x2（
0
≤
x
≤
1
0 \leq x \leq 1
0≤x≤1），求概率密度函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)：
f
(
x
)
=
d
d
x
F
(
x
)
=
2
x
f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = 2x
f(x)=dxdF(x)=2x
6. 总结与展望
本文从直观实例出发，逐步引入分布函数的定义、性质和计算方法。我们不仅探讨了离散型与连续型分布函数的差异，还通过实例展示了分布函数的应用。
在实际应用中，分布函数被广泛用于统计分析、数据建模和工程问题中。未来的内容中，我们将进一步探讨分布函数与统计学其他概念（如分位数、概率图）的联系。